La Fundació Josep Finestres va néixer l’any 1990 amb la finalitat de posar ordre a la gestió de la Clínica Odontològica Universitària i la Clínica Podològica Universitària, ambdues ubicades al Campus de les Ciències de la Salut de Bellvitge, al municipi de l'Hospitalet de Llobregat.
Va ser constituïda el 10 de maig de 1990, però no va ser inscrita i classificada en el Registre de Fundacions Privades de la Generalitat de Catalunya fins al dia 23 de març de 1992. L'inici efectiu de les seves operacions va ser l'1 d'octubre de 1992, data a partir de la qual la Fundació assumeix l'activitat i gestió de la Clínica Odontològica i Clínica Podològica de la Universitat de Barcelona, exempta de tot ànim de lucre d’acord amb els seus estatuts.